Još od antičkih vremena, pa do današnjih dana, zidani lukovi, svodovi i kupole su bili izuzetno važni konstruktivni delovi objekata. Ovakvi elementi, i danas, ponovo privlače pažnju inženjera i istraživača, traže se nova modifikovana rešenja, objavljuju naučne studije… Ovaj tekst če se fokusirati na jednu vrstu konstruktivnog luka koji je nastao na osnovu analogije sa obešenim užetom i oblikom koji on zauzima u položaju ravnoteže, tj., oblikom koji se naziva lančanica. Ukratko će se pomenuti nekoliko osnovnih karakteristika lančanice. Zatim će se nešto reći o zidanim lukovima čiji je oblik rezultat analogije sa idejom lančanice, kao i prednostima takvog pristupa. Na kraju će se ukazati i na jedno od brojnih ostvarenja genijalnog arhitekte Antonija Gaudija, koje je više od stotinu godina bilo misterija za istraživače i arhitekte, a koja je nedavno uz pomoć savremenih tehnologija, matematičkog aparata i softvera, konačno razrešena.
U vezi sa problemom najboljeg oblika konstruktivnog luka, još je 1675 čuveni Robert Huk objavio svoje rešenje, kako je to on umeo, u obliku sledećeg anagrama: “ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum”. U slobodnom prevodu bi ovo glasilo: “Kao što stoji elastično uže, isto tako, ali obrnuto će stajati i kruti luk”.
Prilikom izvođenja teorijskog oblika linije koju će uže da zauzme u ravnotežnom položaju samo usled sopstvene težine, pretpostavlja se jedno teško idealno uže bez debljine i idealno savitljivo (Slika 1b). Ovo može da bude i lanac, kod kojeg su osnovni elementi iz kojih se sastoji, beskonačno mali. Na osnovu toga je i nastao najpoznatiji naziv oblika koji će uže ili lanac da zauzme, a to je lančanica (od latinske reči catena – lanac). Pokazuje se, da se matematički oblik lančanice, a čije se izvođenje može naći u standardnim udžbenicima Mehanike, može opisati preko specijalne funkcije hiperboličnog kosinusa sa karakterističnim parametrom a, y=acosh(x/a)+b. Ovaj oblik hiperbolične funkcije je u literaturi i poznat kao jednačina lančanice (naprimer, na engleskom jeziku: catenary curve). Ovakvo uže ili lanac (Slika 1b) je u svakom preseku opterećen samo aksijalnom silom zatezanja (pravca tangente na lančanicu) i čiji se intenzitet menja duž lančanice.
Kada se sada takvo uže ili lanac, kako je predložio Huk, ukruti i zaokrene za 180 stepeni oko horizontalne ose, dobija se luk okrenute ili inverzne lančanice, kao što je prikazano na Slici 1a). Ovde je prikazan simetričan luk u odnosu na vertikalni pravac, ali, on i ne mora da uvek bude takav. Moguće su naravno različite konstruktivne izvedbe. Što se tiče unutrašnjih sila koje dejstvuju na ovakav luk, kao i u slučaju obešenog idealnog užeta, i ovde postoji samo aksijalna sila, ali je ona ovde ne sila zatezanja, već sila pritiska (Slika 1c). Ako se posmatra, naprimer samo jedna polovina simetričnog luka (Slika 1c), tada je pravac i intenzitet ove pritisne sile u proizvoljnom preseku i takav da njena vertikalna komponenta uravnotežuje silu težine dela luka iznad posmatranog preseka. Horizontalna sila H je ista u svakom preseku i odgovara aksijalnoj sili u vrhu luka.
Sika 1
Naravno, bilo koji realan luk je sačinjen od određenih elemenata, i ima odgovarajuću debljinu kao što je prikazano na Slici 1d ili na Slici 2. Na slici 2a je prikazana polovina luka kružnog oblika. Realni, zidani lukovi su sačinjeni od kamena, cigli ili od nekog drugog materijala. Ako se pretpostavi da elementi idealno naležu jedan na drugi i da nema trenja između njih, tada se kaže da se radi o idealnom luku. Opoterećenje jednog elementa na drugi je kontinualno raspodeljeno duž dodirne površine i normalno je na nju. Na ovaj način se dejstvo jednog elementa na drugi može predstaviti sa rezultantom koja je normalna na odgovarajuću površinu. Geometrijska mesta dejstva ovih rezultanata, kao i njihovi pravci, formiraju liniju inverzne lančanice, a što neki nazivaju i “prirodni prenos sila kroz luk”. Naravno, kod realnih zidanih lukova, nikada nije savršeno naleganje između elemenata i postoji odgovarajuće trenje. Zbog toga postoji izvesno odstupanje od teorijske linije lančanice, ali je ono u granicama prihvatljivosti. Do kolapsa realnog luka dolazi kada ova linija inverzne lančanice, usled određenih razloga se pomeri tako da ima istu tangentu sa unutrašnjom ili spoljašnjom linijom luka. Iz tog razloga je i najbolje da se prilikom izgradnje luka on gradi tako da njegova i unutrašnja i spoljašnja linija prate liniju inverzne lančanice (Slika 2b). To je i jedan od osnovnih razloga, zašto se upravo ovakav oblik konstruktivnog zidanog luka smatra kao najbolje rešenje, jer je tada linija lančanice u centralnom delu luka, smanjuje se mogućnost kolapsa uz istovremenu mogućnost smanjenja debljine samog luka.
Slika 2
Čuveni arhitekta Antonio Gaudi je u svojim objektima koristio lukove i svodove, a čije oblike je kreirao na osnovu inverznih lančanica i gde je sam pravio makete svojih budućih objekata, ispitujući njihovu nosivost. Kao jedna od njegovih prvih građevina je Palata Guelj, na kojoj se posebno ističe karakteristični oblik ulaznih vrata (Slika 3). Oblik lukova ovih vrata je privlačio, i još uvek privlači značajnu pažnju. Iznošene su razne teorije o njihovom obliku i matematičkoj interpretaciji. Nedavno je grupa naučnika (http://deim.urv.cat/~blas.herrera/Arch.pdf), na osnovu geometrijske analize, numeričkih procesa, računarskih metoda i akvizacije 3D podataka, došla do zaključka da oblik ovog luka odgovara, sa poklapanjem od 99.72% jednoj liniji koja se naziva Rankinova kriva čija je matematička interpretacija: y=a cosh{(x/l)arc cosh[(a+h)/a]}.
slika 3
Interesantno je naglasiti da je ovo izuzetno specijalna matematička funkcija koja se predstavlja preko hiperboličkog kosinusa, pri čemu se ona opisuje kao “analitička kompozicija hiperboličkog kosinusa sa homotetičkom transformacijom”. Ovaj komplikovan matematički opis je ovde s namerom ovako naglašen, da bi se ukazalo na očito izuzetnu neobičnost ovako jednog objekta kao što su ulazna vrata pomenute palate, i koja su napravljena pre više od 100 godina. Budući da čak i danas nije jednostavno predstaviti ovu krivu, ostaje otvoreno pitanje o tome, kako je moguće da je, od toliko drugih krivih, podudaranje najbolje baš sa ovako nekom linijom. Možda je i jedan od mogućih odgovara i taj, da čovečanstvo neprestano okriva nove i nove činjenice, ali genijalnost nekih njegovih pripadnika će, ipak ostati misterija.
dr Zvonko Rakarić
vanredni profesor
UNO Mehanika FTN Novi Sad